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Academic Year/course: 2023/24

453 - Degree in Mathematics

27016 - Probability


Syllabus Information

Academic year:
2023/24
Subject:
27016 - Probability
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
3
Semester:
First semester
Subject type:
Compulsory
Module:
---

1. General information

It is a course dedicated to the study of random variables in uncertain environments and the construction of stochastic models that represent real-life situations.

Basic knowledge of linear algebra and mathematical analysis (calculus in one and multiple variables) is required. As it is a continuation of the Introduction to Probability and Statistics course, it is crucial to have taken it beforehand.

The approaches and objectives of this module are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda; the learning activities could contribute to some extent to the achievement of the goals 4 (quality education), 5 (gender equality), 8 (decent work and economic growth), and 10 (reducing inequality).

2. Learning results

  • Distinguish deterministic phenomena from random phenomena. Understand the statistical paradigm used to study random phenomena: the probability space.
  • Construct the appropriate probability space for the study of a random phenomenon. Calculate probabilities. Understand and interpret the concepts of stochastic dependence and independence. Calculate probabilities in both dependent and independent situations.
  • Define and understand the meaning of discrete and continuous random variables, both unidimensional and multidimensional, and the functions that characterize them. Understand their utility in calculating probabilities. Know and calculate the main characteristics of a distribution.
  • Understand and apply the basic concepts of convergence of sequences of random variables and some laws of large numbers.
  • Know the central limit theorem, understand its meaning, and use it appropriately.
  • Use acquired knowledge to construct models that solve situations where randomness is essential.

3. Syllabus

Block 1. Random vectors.

  1. General random vectors. Definition. Cumulative distribution function. Transforms of random vectors. Types of random vectors.
  2. Discrete random vectors. Probability distributions: joint, marginal, condicional. Independent random variables.
  3. Continuous random vectors. Probability distributions: joint, marginal, conditional. Independent random variables. Differentiable transform of a continuous random vector.
  4. Moments and properties of random vectors. Moments. Moment generating functions. Reproductive property.
  5. Some multivariate probability distributions. Multinomial distribution and Multivariate Normal distribution.
  6. Correlation and least mean square principle. Correlation coefficient. Schwarz's inequality. Functional relationships between two random variables and the least mean square principle.

Block 2. Stochastic convergence, law of large numbers and central limit theorem.

  1. Convergence of sequences of random variables. Convergence in probability. Almost sure convergence. Convergence in distribution. Convergence in the Lp-norm. Properties and relationships between the types of convergence.
  2. Laws of large numbers. Weak laws of large numbers. Strong laws of large numbers. Central limit theorem for independent and identically distributed random variables. General central limit theorem.

4. Academic activities

Master classes: 30 hours.
Problem solving: 30 hours.
Project: 12 hours.
Study: 72 hours.
Assessment tests: 6 hours.

5. Assessment system

The students may take two mid-term exams corresponding to block 1 and block 2. The first exam, corresponding to block 1 will be held at the end of that block. The exam corresponding to block 2 will be held at the official date of the February exam. A mean score of 5 and a minimum score of 4.5 in the two midterm exams is needed to pass the subject.

In the group taught in English, there will be three 2 hour practical classes where students will present solutions of problems, summaries of theoretical results... These activities are optional and will be assessed and marked between 0 and 1 points; this score will be added to the final score obtained in the exams.

The students may also take a unique final exam in each of the two calls (January and July) of the subject. In the second call, there will be one exam including all the topics in the syllabus.


Curso Académico: 2023/24

453 - Graduado en Matemáticas

27016 - Cálculo de probabilidades


Información del Plan Docente

Año académico:
2023/24
Asignatura:
27016 - Cálculo de probabilidades
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
6.0
Curso:
3
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

1. Información básica de la asignatura

Es una asignatura dedicada al estudio de variables aleatorias en ambientes de incertidumbre y a la construcción de modelos estocásticos que representen situaciones reales.

Se requieren conocimientos básicos de álgebra lineal y análisis matemático (cálculo en una y varias variables). Al ser continuación de la asignatura Introducción a la probabilidad y la estadística, es muy importante haber cursado esta previamente

Los planteamientos y objetivos de la asignatura están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas; en concreto, las actividades de aprendizaje previstas en esta asignatura contribuirán en alguna medida al logro de los objetivos 4 (educación de calidad), 5 (igualdad de género), 8 (trabajo decente y crecimiento económico) y 10 (reducción de las desigualdades).

2. Resultados de aprendizaje

  • Distinguir fenómenos deterministas y fenómenos aleatorios. Comprender el modelo que utiliza la estadística para el estudio de fenómenos aleatorios: el espacio de probabilidad.
  • Construir el espacio de probabilidad adecuado para el estudio de un fenómeno aleatorio. Calcular probabilidades. Conocer e interpretar los conceptos de dependencia e independencia estocástica. Calcular probabilidades en ambas situaciones.
  • Saber definir y comprender el significado de las variables aleatorias discretas y continuas, unidimensionales y multidimensionales y las funciones que las caracterizan, así como comprender su utilidad para calcular probabilidades. Conocer y saber calcular las características principales de una distribución.
  • Conocer, manejar y utilizar los conceptos básicos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias y algunas leyes de los grandes números.
  • Conocer el teorema central de límite básico, comprender su significado y utilizarlo adecuadamente.
  • Saber utilizar los conocimientos adquiridos para construir modelos que resuelvan situaciones en las que el azar es esencial.

3. Programa de la asignatura

Bloque 1. Vectores aleatorios.

  1. Vectores aleatorios generales. Definición. Función de distribución. Transformaciones de un vector aleatorio. Tipos de vectores aleatorios.
  2. Vectores aleatorios discretos. Distribuciones de probabilidad: conjunta, marginales, condicionales. Variables aleatorias independientes.
  3. Vectores aleatorios continuos. Distribuciones de probabilidad: conjunta, marginales, condicionales. Variables aleatorias independientes. Transformación diferenciable de un vector aleatorio continuo.
  4. Momentos y propiedades de un vector aleatorio. Momentos. Función generatriz de momentos. Reproductividad.
  5. Algunas distribuciones de probabilidad multidimensionales. Distribución multinomial y normal multivariante.
  6. Correlación y principio de mínimos cuadrados. Coeficiente de correlación. Desigualdad de Schwarz. Relación funcional entre dos variables y principio de mínimos cuadrados.

Bloque 2. Convergencias estocásticas, leyes de grandes números y teorema de límite central.

  1. Convergencia de sucesiones de variables aleatorias. Convergencia en probabilidad. Convergencia casi segura. Convergencia en distribución. Convergencia en Lp. Propiedades y relaciones entre los distintos tipos de convergencia.
  2. Leyes de grandes números. Leyes débiles de los grandes números. Leyes fuertes de los grandes números. Teoremas del límite central para variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Caso general.

4. Actividades académicas

Clases magistrales: 30 horas.
Resolución de problemas y casos: 30 horas.
Trabajos docentes: 12 horas.
Estudio: 72 horas.
Pruebas de evaluación: 6 horas.

5. Sistema de evaluación

Se podrán realizar dos pruebas parciales correspondientes a los bloques 1 y 2 respectivamente. La prueba correspondiente al bloque 1 se realizará al terminar las clases de dicho bloque y es eliminatoria de materia para la primera convocatoria. La prueba correspondiente al bloque 2 se realizará en la fecha de examen oficial de la primera convocatoria de la asignatura. Para aprobar mediante este sistema es necesario obtener una media de la dos pruebas mayor o igual a 5 y haber obtenido en cada una de ellas al menos 4.5.

En el grupo en inglés, habrá tres sesiones prácticas de dos horas en las que los estudiantes expondrán las soluciones de algunos problemas, resúmenes de resultados teóricos… Estas actividades son optativas y serán calificadas entre 0 y 1 punto; esta nota se añadirá a la nota final de los exámenes.

También se podrá realizar un examen global de toda la materia en cada una de las dos convocatorias oficiales. La segunda convocatoria constará de un único examen que incluirá todo el temario de la asignatura.